Materi dan Contoh Soal Kalkulus Fungsi Komposisi Dan dan Fungsi Invers

Assalamualaikum Wr wb
Berikut adalah materi kuliah kalkulus tentang FUNGSI KOMPSISI DAN INFERS semester 1, prodi Teknik Informatika :

Fungsi Kompsisi Dan Fungsi Infers

Konsep fungsi
Fungsi atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A ( B
Operasi dalam Fungsi :
Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
Pengurangan : (f-g)(x) = f(x)  g(x)
Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
jika x (A dan y ( B, sehingga    (x,y) ( f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)
(ditunjukkan dalam gambar disamping)

y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A ( B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x  1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 ( x ( 4. x ( R}
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 ( x ( 4. x ( R}
Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x  1 dalam bidang kartesius.
Tentukan daerah hasil dari fungsi f.

Jawab :
f (x) = 2x  1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
Grafik fungsi y : f (x) = 2x  1

Daerah hasil fungsi f ( Rf = {y | -1 ( y ( 7, y ( R}

Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ( 0 atau x ( -1
Jadi Df : {x | x ( R, dan x ( -1}
g (x) =

Jawab :
g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :
4  x2 ( 0
x2  4 ( 0
(x-2) (x+2) ( 0   (  -2 ( x ( 2
Jadi Dg = {x | -2 ( x ( 2, x ( R}

Pengertian fungsi komposisi

        Merupakan  penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi  Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).

Misalkan: f : A >> B dan g : B >> C

Fungsi baru h = (g o f) : A ( C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
   (gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø

Adapun Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)).
Notasi : (f o g)(a) = f(g(a))  ( fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f
Contoh :
Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut
f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)
Jawab:
a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) = {(0,1), (4,3)}
c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4)
Diketahui
f : R ( R ; f(x) = 2x² +1,   g : R ( R ; g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19
Jawab:
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4
(f o g)(1) = f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33
(g o f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6

  Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan  g(x) = 3x + 120 maka nilai p =  .
Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p  p = 240  120
2p = 120 ( p = 60

Pengertian dan Konsep  Fungsi Invers

Devinisi fungsi infers jika fungsi f : A ( B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)la(A dan b(B}, maka invers dari fungsi f adalah f-1: B ( A ditentukan oleh:   f-1:{(b,a)lb(B dan a(A}.
Jika f : A ( B, maka f  mempunyai fungsi invers f-1 : B ( A  jika dan hanya jika    f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.
Jika f : y = f(x) ( f -1 : x = f(y)
Maka   (f o f -1)(x) = (f-1 o f)(x) = I(x)    (fungsi identitas)

Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

f(x) = ax + b; a ≠ 0   (  f -1(x) =; a ≠ 0
f(x) = ; x ≠ - (  f -1(x) = ; x ≠
f(x) = acx ; a > 0  (  f -1(x) = alog x1/c = alog x ; c ≠ 0
f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  (   f -1(x) = ; c ≠ 0
f(x) = ax²+bx+c; a≠0 (  f -1(x)=
ingat :
Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh
Diketahui f: R (  R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1 (x)! Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y)) 2x = y + 5
x =  f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b  (  f -1(x) =
f(x) = 2x  5  (  f -1(x) =

Contoh
Diketahui f(x) = 52x, tentukan  f  1 (x)!
Cara 1:
y = 52x (ingat rumus logaritma: a n = b ( n = )
2x =
x =
f  1 (x) =
Cara 2:
f(x) = acx  (  f -1(x) = alog x
f(x) = 52x  ( f  1 (x) =

Aplikasi fungsi komposisi kalkulus

Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).
Contoh :
Diketahui g(x) = 3  2x dan (g o f)(x) = 2x2 + 2x  12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2 + 2x  12
g(f(x)) = 2x2 + 2x  12
3  2f(x) = 2x2 + 2x  12
-2f(x) = 2x2 + 2x  15
f(x) = -x2  x + 7,5

Cara 2:

Cara 3:

1.     Diketahui f(x) = 2x + 5dan (f o g)(x) = 3x² – 1, Tentukan g(x).

Jawab

f(x) = 2x + 5 dan

(fog)(x) = 3x² - 1

 f[g(x)] = 3x² - 1

2.g(x) + 5 = 3x² - 1

      2.g(x) = 3x² - 1 - 5 = 3x² - 6

  Jadi g(x) =  1/2  (3x² - 6)

Sekian dari saya apabiala ada kesalahan saya mohon maaf terima kasih.
Apabila kurang jelas silahkan download aja....
Jika ingin download materi kalkulus tentang fungsi komposisi dan invers silahkan klik disini
Wassalamualaikum Wr Wb