Materi dan Soal Pembahasan Kalkulus Fungsi Limit

Assalamualaikum Wr wb
Berikut adalah materi kuliah kalkulus tentang FUNGSI lLIMIT semester 1, prodi Teknik Informatika :

Bab III Fungsi Limit
Pengertian limit
Istilah limit dalam matematika hampir sama  artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan. Sehingga Limit fungsi f (x) adalah suatu nilai fungsi yang diperoleh melalui proses pendekatan atau dengan variabel x, baik dari arah x yang lebih kecil, maupun dari arah x yang lebih besar.

Secara umum : bila limit f (x) adalah L, untuk x mendekati , maka limit f (x) ditulis
dengan x ( a dibaca x mendekati

Pengertian limit secara intuitif
Untuk  memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikan contoh berikut:
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1, untuk  x bilangan real. Berapakah nilai f(x) jika x mendekati 2?
Penyelesaian
Untuk  menentukan nilai f(x) jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x disekitar 2 (baik dari kiri maupn dari kanan). Kemudian, kita tentukan nilai f(x) seperti terlihat pada tabel berikut:

Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati  2 dari kiri, f(x) mendekati 5 dari kiri sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati 5 dari kanan.

Teorema Limit
Misal n bilangan bulat positip, k bilangan real, dan adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di titik , maka:

Teorema di atas, dapat diaplikasikan dalam banyak hal pada penyelesaian soal-soal tentang limit.
Contoh:

                                           
Limit fungsi Aljabar
Suatu fungsi f(x) didefinisikan untuk x mendekati a, maka :

Limit Bentuk
Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian mencoret faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan :
1. Karena , maka  sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan
2. Nilai limitnya ada jika dan hanya jika :
3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.
Contoh :

Limit fungsi Trigonometri
Fungsi Trigonometri

 Karena ABC salah satu sudutnya siku-siku, sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku:

Selanjutnya secara berurutan persamaan  dibagi diperoleh persamaan baru

Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.
Selanjutnya berdasarkan perbandingan tersebut dapat dibuat beberapa rumus tentang fungsi trigonometri. Rumus-rumus tersebut dapat ditunjukkan melalui gambar.
Perhatikan gambar berikut ini.

Pada gambardi atas terdapat 4 segitiga dan masing-masing adalah siku-siku, yaitu  dan diketahui .  sehingga
Berdasarkan  diperoleh perbandingan panjang sisi
 dengan UP = PS + SU
Karena  maka SU = UT cos
Karena PS = QT dan karena  siku-siku di maka OQ = OT cos  dan QT = OT sin
Karena siku-siku di  maka OT = OU cos  dan UT = OU sin
Karena

Sehingga diperoleh rumus 

Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah:

Limit fungsi Trigonometri
Dengan menggunakan teorema prinsip apit dan rumus geometri kita dapatkan teorema dasar dari limit fungsi trigonometri sebagai berikut.

Dengan menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri dapat dibuktikan teorema-teorema berikut:
Teorema

Bentuk-bentuk di atas dinamakan dengan limit fungsi trigonometri. Dengan berpandu pada teorema limit dan bentuk tak tentu. Maka persoalan tentang limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan
Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

Sekian dari saya apabiala ada kesalahan saya mohon maaf terima kasih.
Jika kutang jelas silahkan download materi ini...
Jika ingin download materi kalkulus tentang fungsi limit silahkan klik disini
Wassalamualaikum Wr Wb