Contoh Soal dan Rangkuman Materi Aplikasi Turunan Kalkulus

Assalamualaikum Wr wb
Berikut adalah materi kuliah kalkulus tentang TURUNAN DAN APLIKASINYA semester 1, prodi Teknik Informatika :

Turunan Dan Aplikasinya

Konsep turunan dalam kalkulus

Kesimpulan:

Contoh 1:

Notasi Turunan dan Rumus Dasar Turunan
Turunan dari sebuah fungsi f dengan variabel x atau f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f 1(x). Jika kita menuliskan y = f(x),  adalah koefisien turunan (diferensial) untuk fungsi f(x). Atau turunan dari fungsi f dapat juga dinyatakan dengan menggunakan operator D dengan menuliskan D[f(x)] = f 1(x). Dapat di tuliskan notasi turunan sebagai berikut:

Dimana: atau  notasi aksen.
Notasi disebut pula notasi Leibnizt.
Tabel berikut ini memuat daftar turunan (diferensial) baku yang akan membantu kita dalam menyelesaikan persoalan turunan fungsi sederhana.

Rumus Dasar Turunan

Selanjutnya kita akan mengenal terlebih dahulu sifat-sifat turunan yang juga akan memudahkan kita dalm menyelesaikan persoalan turunan.

Rumus turunan fungsi aljabar
Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x) turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan







Sifat-sifat turunan.
Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f (x) dan g (x) maka berlaku :
(x), g(x) ≠ 0
untuk dua sifat (rumus) terakhir dapat diringkaskan agar memudahkan kita untuk menghafalnya, yaitu dengan cara memisalkan u = f(x) maka u1 = f 1(x) dan v = g(x) maka v1 = g 1(x). sehingga dua rumus terakhir dapat dituliskan sebagai berikut :
 dan , v ≠ 0.
Selanjutnya,  contoh-contoh berikut akan menjelaskan bagaimana daftar (rumus) dasar turunan dan sifatnya dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan turunan untuk fungsi sederhana.
Perhatikan Contoh contoh di bawah ini
Tentukan turunan dari fungsi y = x4 + 5x3  4x2 + 7x  2.
Penyelesain
y = x4 + 5x3  4x2 + 7x  2, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka
 = 4x4-1 + 5 (3x3-1)  4 (2x2-1) + 7 (x1-1)  0
       = 4x3 + 15x2  - 8x + 7.

Rumus turunan fungsi trigonometri

Turunan Sinus dan Kosinus
Pada dasarnya turunan sinus dan kosinus mengacu pada definisi turunan, namun hasilnya telah diringkaskan pada teorema berikut :



Teorema 1
Fungsi-fungsi f (x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya mempunyai turuna (dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f (x) = cos x dan turunan cos x adalah g (x) = - sin x.
Dengan menggunakan teorema 1 diatas dan rumus turunan hasil kali serta turunan hasil bagi, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang dinyatakan pada teorema berikut.
Teorema 2
Turunan trigonometri
 = cos x
  =  sin x,
  = sec2 x.
  = - cosec2 x.
  = sec x . tan x
 = - cosec x . cotan x

Turunan Dengan Aturan Rantai.
Turunan dengan aturan rantai muncul dari fungsi yang merupakan komposit fungsi lainnya. Rumus turunan aturan rantai dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 3.
Misalkan menentukan fungsi komposit y = f[g(x)] = (f o g)(x). Jika g punya turunan di x dan f punya turunan di u, maka (f o g)(x) punya turunan di x
yaitu : (f o g) (x) = f [g(x)] . g (x), atau  =  . .
Jika y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x), maka  =  .  .  disebut aturan rantai bersusun dan dapat dilanjutkan untuk fungsi yang komposisinya lebih dari tiga.
Contoh
Tentukan turunan dari fungsi y = (3x + 5)4.
Penyelesaian.
Misalkan u = 3x + 5 ( y = u4
 = 4u3 dan  = 3,
sehingga   =  .
                        = (4u3) (3)
                        = 12u3 = 12 (3x + 5)3
Contoh
Tentukan turunan dari fungsi y = tan(4x + 1).
Penyelesaian.
Misalkan u = 4x + 1 ( y = tan u
 = sec2 u dan  = 4,
sehingga   =  .
                        = sec2 u . (4) = 4 sec2(4x + 1)

Aplikasi turunan

Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:
Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f(a)
Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah:
y  b = m(x  a)
Fungsi f(x) naik, jika f(x) > 0, dan turun, jika f(x) < 0
Fungsi f(x) stasioner jika f(x) = 0
Nilai stasioner f(x) maksimum jika f(x) < 0, dan minimum jika f(x) > 0


Sekian dari saya apabiala ada kesalahan saya mohon maaf terima kasih.
Jika ingin download materi kalkulus tentang Turunan dan aplikasinya silahkan klik disini
Wassalamualaikum Wr Wb